Algebra lineare Esempi

$5 x + 2 y + z = - 11$ $2 x - 3 y - z = 17$ $7 x - y = 12$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 1 & - 11 \\ 2 & - 3 & - 1 & 17 \\ 7 & - 1 & 0 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{- 11}{5} \\ 2 & - 3 & - 1 & 17 \\ 7 & - 1 & 0 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 2 & - 3 & - 1 & 17 \\ 7 & - 1 & 0 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{5}) & - 1 - 2 (\frac{1}{5}) & 17 - 2 (- \frac{11}{5}) \\ 7 & - 1 & 0 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & - \frac{19}{5} & - \frac{7}{5} & \frac{107}{5} \\ 7 & - 1 & 0 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & - \frac{19}{5} & - \frac{7}{5} & \frac{107}{5} \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 1 - 7 (\frac{2}{5}) & 0 - 7 (\frac{1}{5}) & 12 - 7 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & - \frac{19}{5} & - \frac{7}{5} & \frac{107}{5} \\ 0 & - \frac{19}{5} & - \frac{7}{5} & \frac{137}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{5}{19}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{5}{19}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ - \frac{5}{19} \cdot 0 & - \frac{5}{19} (- \frac{19}{5}) & - \frac{5}{19} (- \frac{7}{5}) & - \frac{5}{19} \cdot \frac{107}{5} \\ 0 & - \frac{19}{5} & - \frac{7}{5} & \frac{137}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & - \frac{107}{19} \\ 0 & - \frac{19}{5} & - \frac{7}{5} & \frac{137}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{19}{5} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{19}{5} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & - \frac{107}{19} \\ 0 + \frac{19}{5} \cdot 0 & - \frac{19}{5} + \frac{19}{5} \cdot 1 & - \frac{7}{5} + \frac{19}{5} \cdot \frac{7}{19} & \frac{137}{5} + \frac{19}{5} (- \frac{107}{19}) \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & - \frac{107}{19} \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $\frac{1}{6}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $1$ .

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $\frac{1}{6}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & - \frac{107}{19} \\ \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{6}{6} \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & - \frac{107}{19} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{107}{19} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 4$ un $0$ .

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Passaggio 2.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{107}{19} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 + \frac{107}{19} \cdot 0 & 1 + \frac{107}{19} \cdot 0 & \frac{7}{19} + \frac{107}{19} \cdot 0 & - \frac{107}{19} + \frac{107}{19} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{11}{5} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{11}{5} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{11}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} + \frac{11}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} + \frac{11}{5} \cdot 0 & - \frac{11}{5} + \frac{11}{5} \cdot 1 \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.9.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{5} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{1}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{19} & 0 - \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{19} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + \frac{1}{19} z = 0$

$y + \frac{7}{19} z = 0$

$0 = 1$

Passaggio 4

Il sistema è incoerente quindi non c'è alcuna soluzione.

$Nessuna soluzione$